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Das einfache Gleichungssystem dazu sieht wie folgt aus:







        (1) + (2) + C = 180          
         A  +  B  + C = 180 
                     
 Aus diesen beiden Gleichungen folgt:

   (1) + (2) = A + B  [Gleichung 1]  ---> = 15' + 40' = 55'
Da hier noch zwei Unbekannte sind, ist eine zweite Gleichung zu finden. Sie kommt von Aristarchos und wir kennen sie bereits:

           b : a = 1 : 19  
               a = 19 * b [Gleichung 2]  ---> 19 * b + b = 55'  ---> b = 2.75' = 0.045833.. und a = 0.870833...
b und a stehen [bei der 1. Skizze erklärt] im umgekehrten(!) Verhältnis zu den zugehörigen Grundlinien (also x halbiert --> (1) verdoppelt).

Die beiden Dreiecke können jetzt mit dem Erdradius (Eratosthenes) von 6300 km mit der Tangens-Funktion berechnet werden:

a = 6300/tan 0.04583... = 7'875'564 km (Erde - Sonne, 19-fach zu klein wegen Fehlers des Aristachos) 

b = 6300/tan 0.87083... = 414'472 km (Erde - Mond, erstaunlich genau)  



Diese genialen Überlegungen wurden also von Hipparchos bereits um 150 v. Chr. gemacht!


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